Глава 6 Об операциях, заключенных в тупоугольный треугольник или в сектор в 90° и более 1. Количество градусов, которым должен измеряться объективный угол, в конце концов можно определить лишь для каждого данного случая в отдельности. Если кто-нибудь скажет, что я

Головоломка «всмятку» Однажды вечером Альберт - мэтр среди лакеев - снискал ошеломляющий успех у членов Клуба Любителей Головоломок, предложив присутствующим такую гастрономическую задачку: «Как сварить яйцо точно за две минуты, если в вашем распоряжении всего пара

Звездная головоломка Решая эту головоломку, смотрите, как бы у вас из глаз звезды не посыпались! На рисунке восемнадцать спичек образуют звезду, составленную из восьми больших и малых треугольников. Каким образом следует переставить две спички, чтобы фигура состояла

Головоломка для Висельника Преподобный Н. А. Шпиль опять в недоумении. Он достал новый колокол для своей церкви и каким-то образом уговорил Малыша-Висельника помочь его повесить. И колокол, и Малыш весят одинаково, но как только Малыш начал тянуть за веревку, произошло

«Президентская» головоломка Эта маленькая девочка либо пытается «ускорить» наступление рождественских праздников, либо ищет ответ на знаменитую головоломку о президентах! Посмотрим, сможете ли вы ее разгадать, освободив время девочки для более важных занятий? А

Археологическая головоломка Неутомимые археологи Хопкинс и Паркер откопали очередной старинный памятник. Давайте послушаем, о чем они говорят:- Наконец-то и мы сделали сенсационную археологическую находку - обнаружили текст знаменитой «Загадки Сфинкса»! Ей не

Шашечная головоломка Пол Бентли, лавочник, любит порой сыграть партию-другую в шашки. На рисунке вы видите конец партии, которую он однажды выиграл у Джон Корнби. Пол играл белыми, и первый ход был за ним. Восстановите все его ходы. Белые шашки двигались по доске вверх, а

«Ковбойская» головоломка Как-то ночью шериф Кольт Ремингтон встретил трех ковбоев, сидевших вокруг костра. Шериф заподозрил, что один из них - печально известный угонщик скота, Боб-Скотобой, а двое других были похожи на обычных безработных. Шериф был уверен, что эти

УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ

Шнурковые (верёвочные) головоломки и игры относятся к самым древним. В старинной легенде рассказывается, что почти за тысячу лет до нашей эры жил Гордий, царь Фригии, области в древней Малой Азии. Построил он город Гордион – свою столицу, а в нём храм Зевса. Незадолго до своей смерти Гордий подарил храму колесницу. Как утверждает легенда, к колеснице очень сложным узлом было привязано ярмо. После смерти Гордия оракул предсказал, что тот человек, который сумеет развязать узел Гордия и освободить ярмо, чтобы Запрячь в колесницу коня, станет властелином мира.

Гордий умер в 738 году до нашей эры. Больше 400 лет стояла колесница в храме, оставался завязанным и царёв узел. В 334 году в город Гордион вошли войска Александра Македонского. Когда жители города сказали Александру, что по предсказанию оракула, Азию покорит тот, кто развяжет запутанный узел, им овладело страстное желание добиться выполнения предсказания.

Как свидетельствует римский историк Курций Руф, вокруг царя собралась толпа фригийцев и македонцев: первые напряжённо ждали, а вторые испытывали страх из-за безрассудной самоуверенности царя. И действительно, ремень был так плотно связан узлами, что невозможно было ни рассчитать, ни увидеть, где начинается и где кончается сплетение. Попытки царя развязать узел внушали толпе опасение, как бы неудача не оказалась плохим предзнаменованием. Долго и напрасно провозившись с этими запутанными узлами, царь сказал, что безразлично, каким способом они будут развязаны, и разрубив узлы мечом, он не то посмеялся над предсказанием оракула, не то выполнил его.

Тысячи лет назад люди придумали различные способы завязывания узлов. Искусные мастера древности были и первыми изобретателями игр-головоломок с верёвочками. Просидев час над такой головоломкой (и не решив её), несомненно проникнешься уважением к уму её изобретателя. Подобных гордиеву узлу головоломок, в которых требуется распутать верёвки или разъединить связанные детали, известно несколько сотен. В давние времена они использовались не только как хитроумные игрушки, но и как задачи для проверки мастерства древних корабелов, плетельщиков циновок и корзин, строителей жилищ. Мы познакомим вас с некоторыми из таких головоломок. Начнём с более простых и в изготовлении, и в решении.

Игрушки-загадки из пуговиц и ниток

Нитки и старые пуговицы найдутся в любом доме. Из этих обычных вещей легко сделать занимательные игры-головоломки (рис. 1)

Почти во всех головоломках требуется одно: разъединить сцепленные между собой части. Задача эта на первый взгляд может показаться неразрешимой. Попытки расцепить петли часто приводят к тому, что нитки только ещё больше перепутываются между собой. Не отчаивайтесь. В 1983 году на конкурсе изобретателей головоломок, проведённом газетой «Комсомольская правда», опытные члены жюри, пытаясь решить одну шнурковую головоломку, так запутали верёвки, что самому автору игрушки не удалось их распутать. В таких случаях проще обрезать шнурок или, развязав узел, разобрать головоломку на части и заново правильно собрать её.

И тем не менее, научиться решать подобные задачи не так уж трудно. Не приводя здесь точного описания решения каждой головоломки, расскажем об общем правиле, которое позволяет разгадывать любые головоломки данного типа.

Прежде всего внимательно рассмотрите рисунок и попытайтесь решить головоломку в уме. Для этого петлю на рис. «Д» протяните вдоль нитки, за которую она зацеплена, и, не перекручивая её, просуньте во все встречающиеся отверстия. Дойдя до конца нитки, обогните маленькую пуговицу на конце и вытяните петлю через все отверстия обратно. В результате петля окажется по другую сторону нитки, то есть отцепится от неё.

Но слепо следовать этому правилу тоже нельзя. Например, при решении головоломки, показанной на рис. «Г», петлю не надо просовывать через отверстия в соседних пуговицах, а пуговицу необходимо пропустить через петлю.

• рисунок «А»: освободите левую пуговицу от бечёвки
• рисунок «Б»: отцепите красную пуговицу
• рисунок «В»: распутайте нитки и освободите четыре пуговицы
• рисунок «Г»: переместите левую пуговицу вдоль нитки вплотную к правой пуговице
• рисунок «Д»: освободите петлю с маленькой пуговицей от остальных пуговиц

Пуговицы лучше всего брать большие, а нитки - толстые. Отверстия в пуговицах следует увеличить, расточив их надфилем или рассверлив. При отсутствии инструментов отверстия в пуговицах расширяют с помощью обыкновенных острых ножниц.

При сборке игрушек надо быть предельно внимательными и точными. Достаточно в одном месте неправильно сцепить нитки, и головоломку невозможно будет решить или, наоборот, решение будет слишком простым.

Если вы хорошо освоили приведённые на рисунках головоломки, попробуйте придумать свои собственные. При этом вы можете увеличивать количество пуговиц, сцепленных петель, изменять пути прохождения ниток.

Весёлые фигурки

Из обрезков одножильных проводов в цветной изоляции можно сделать всевозможные занимательные головоломки. Некоторые из таких головоломок показаны на рис. 2. Чтобы изготовить их, необходимо строго по рисунку выдержать пропорции фигурок и длину верёвок. Например, «мышата» должны быть больше, чем лапка «кошки». А вот петля на конце шнурка должна быть больше «мышонка». Шнурок подбирают такой толщины, чтобы он свободно проходил через проволочные петли.

Необязательно повторять показанные на рисунке фигурки. Придумайте свои. Если вам удастся получить новое, более хитрое переплетение верёвок, это будет новая оригинальная головоломка.

Как же разгадывать эти головоломки? Если вы хорошо освоили игрушки-загадки из пуговиц и ниток, вам нетрудно будет решить и головоломки с фигурками.

Начнём с «утят» (рис. «А» и «Б»). Двух «утят» можно освободить одним способом. Петлю, которая охватывает шнурок, протягивают вдоль этого шнурка, просовывая её через все встречающиеся препятствия, например лапки «гуся». Дойдя до конца шнурка, просовывают в петлю привязанный цветок или грибок. После этого, вытянув петлю на старое место, освобождают её из лапок «утёнка».

Точно так же освобождают «мышата», которых поймала «кошка» («Г»), а также «утёнка» Тима («В»).

Трёх «утят», связанных одной верёвкой, кажется, невозможно освободить («Д»). Но это не так. Протяните петлю, стягивающую лапки любого «утёнка», вдоль параллельных шнурков и пропустите через эту петлю двух остальных «утят». Неожиданно для себя вы обнаружите, что один «утёнок» свободен.Точно так же освобождают и остальных «утят».

Поняв секрет этой игрушки, вы сможете сами освободить «зайчишек» от «лисы» и «утёнка» с «гусеницей» от «ёжика» (рис. 3).

С весёлыми фигурками «Вани» и «Маши» (рис. 4) сложнее. Сначала надо разъединить петли, идущие от рук «Вани» и «Маши». Для этого одну из петель, например ту, которую держит «Маша», пропускают через рукав «Вани», продевают через неё грибок и вытягивают петлю обратно. Для того чтобы разъединить петли, связывающие ноги «Вани» и «Маши», одну из петель, например, идущую от ног «Вани» (назовем её петля В), пропускают сверху в петлю, завязанную вокруг правой ноги «Маши», продевают правый башмак её через петлю В, вытягивают петлю обратно, продевают петлю В сверху в петлю, завязанную вокруг левой ноги «Маши», продевают через петлю В левый башмак «Маши», вытягивают петлю обратно и тянут петлю В вверх, пропустив через неё всю фигуру «Маши». Головоломка решена

Такие разные «восьмёрки»

Каждая из трёх головоломок, показанных на рис. 6, имеет форму «восьмёрки». Задачи этих головоломок одинаковые - освободить зацепленные за проволоку шнурки. Но на этом сходство их кончается. У «восьмёрок» разная сложность и разные способы решения задач.

Об одной из этих головоломок уже сообщалось в печати, и она стала знаменитой. Какая из трёх - вам предстоит догадаться самим. Несколько лет назад её придумал американский изобретатель Стефорд Коффин, и с тех пор о ней регулярно пишут в сборниках головоломок, издаваемых в разных странах. Публикации головоломки Коффина сопровождаются рисунками, на которых показан ход решения, в публикациях подробно рассказывается, как надо перемещать шнурок и при каких обстоятельствах изобретатель придумал игрушку. Текстовое пояснение обычно заканчивается словами о том, что в результате всех действий шнурок или станет свободным, или нет и что никто ещё не смог доказать невозможность этого. В этой туманной заключительной фразе и скрывается секрет головоломки: оказывается, её невозможно решить...

Какая из головоломок принадлежит Коффину, вы узнаете, если сумеете отцепить шнурки от двух из трёх приведённых на рисунке «восьмерок».

Как это сделать?

Со школьных лет мы знаем, что проще всего решить задачу, заглянув в ответ. Но это и самый неинтересный способ. Одна самостоятельно решённая головоломка даёт больше пользы и радости, чем десяток задач с известными ответами. В данном случае решение «восьмёрок» находится не в конце книги, как это бывает в школьных учебниках, а на предыдущих страницах, на которых мы учили вас разгадывать секреты забавных фигурок и головоломок из пуговиц и ниток.

Рассматриваемые головоломки или подобные им легко сделать. Для этого подойдёт любая проволока или одножильный провод диаметром от 1 до 5 мм. Размеры «восьмёрок» могут быть любыми, важно лишь, чтобы их удобно было держать в руках и чтобы шнурки легко продевались через петли. Проволоку можно изгибать на болванке или шаблоне подходящего диаметра. Длина шнурка для петель должна быть примерно вдвое больше высоты «восьмёрки»

«Звёзды» с выставки головоломок

Весной 1984 года в Новочеркасске проводилась первая Всесоюзная студенческая выставка-ярмарка. Новочеркасск - город студентов, их здесь несколько тысяч. Огромный зал с экспонатами заполняла любознательная, шумная, весёлая молодежь. У каждого стенда было много посетителей, независимо от того, показывали на нём микромопед, платформу на воздушной подушке, модные модели одежды или картины начинающих художников. Но один стенд всё же пользовался особой популярностью посетителей всех возрастов и профессий: на нём были представлены десятки разнообразных игрушек-загадок, присланных со всех концов страны. Желающие могли попробовать свои силы в решении головоломок. Некоторые из игр можно даже было унести с собой при одном условии... если вы сумели разгадать головоломку. Здесь же посетителям предлагалось сделать головоломки.

Некоторые думают, что сложные в решении игры должны быть обязательно сложными в изготовлении. Это совсем не так. На ярмарке были представлены хитроумные игрушки, изготовленные из обрезков обычной проволоки и кусков бечевки. Наибольший интерес у всех вызвала головоломка «Две звезды». Вы видите её на рис. 7. Чтобы решить эту головоломку, надо отцепить челнок от шнура и звёзд.

Для изготовления игрушки подойдут обрезки любой проволоки толщиной от 0,5 до 2 мм или одножильный провод, очищенный от изоляции. Кроме того, понадобятся куски шнурка или толстых ниток. Инструмент - обычные плоскогубцы с кусачками и круглогубцы. Головоломка должна быть красивой, тогда её приятно будет держать в руках, можно даже использовать как подарок.

Переведите на обычную тетрадную бумагу в клеточку рисунок звезды из этой статьи. Изготовьте шаблон игрушки. Для этого положите рисунок звезды на обрезок доски и отметьте карандашом отверстия для штырей. Возьмите гвозди толщиной 1-2 мм и укоротите их, отрубив концы. Полученные штыри, длина которых не должна превышать 15-20 мм, забейте в центры размеченных на доске отверстий. Штыри должны возвышаться над доской не более чем на 5 мм. Шляпки гвоздей должны быть на тыльной стороне доски. Общий вид шаблона показан на рис. 8:

Подготовьте куски проволоки длиной 30 см. Проволоку тщательно выправьте и зачистите до блеска наждачной бумагой (для зачистки можно использовать также различные хозяйственные порошки и пасты). Обогните куском проволоки штыри шаблона.

При этом старайтесь как можно сильнее натягивать проволоку, тогда лучи звезды будут прямыми и красивыми. Сняв звезду со штырей, загните на концах проволоки кольца, лишние концы проволоки удалите кусачками. Окончательно выправьте звезду плоскогубцами и проверьте качество вашей работы, приложив звезду к рисунку на клетчатой бумаге. Колечки и челнок лучше гнуть на подходящих по размеру болванках круглого и овального сечений. Сборку и соединение отдельных частей игрушки выполняют по рисункам, как можно точнее соблюдая все указанные размеры.

Теперь надо решить головоломку - отцепить один элемент (челнок) от другого (звезды). Подробного решения мы опять давать не будем. Приведем лишь три правила, соблюдая которые вы сможете решить задачу.

Правило первое: сначала думайте, потом действуйте. Отцепить один элемент от другого можно только в тех местах, где кончаются части головоломки, например там, где у звезды согнуты колечки. Здесь и надо пытаться снять челнок.

Правило второе: попытайтесь мысленно (или на модели) заменить жёсткие части головоломки гибкими. Например, вместо проволоки возьмите мягкий провод и сделайте из него звезду. В процессе разгадки выпрямите их, тогда головоломка решится очень просто. Подумайте, почему гибкая головоломка решается легко. Как обойти эту трудность для жёсткой головоломки?

Правило третье: если задача не решается, попробуйте изменить ее на обратную. Вам надо отделить челнок от звезды. Возьмите другой челнок и наденьте его на звезду. Если вы будете внимательными и терпеливыми, обязательно разгадаете головоломку.

Африканская головоломка

Посмотрите на рис. 9 и ответьте на вопрос: как «щенку» добраться до косточки? Задачу эту можно решить разными способами. Например, вытащить один из гвоздей, развязать любой узел или разобрать забор. Наконец, можно подвинуть миску ближе к «щенку». Но всегда ли такие решения приемлемы? Ведь забор и гвозди могут быть очень прочными, узлы - крепкими, а миску нельзя передвинуть.

Как же быть?

Эта задача имеет очень оригинальное решение: «щенок» достает до миски, не нарушая связи между предметами. Внешне все выглядит так, как будто «собаке» удалось пролезть сквозь скобу в середине забора и перебраться на правую часть верёвки. Хотя скоба слишком мала, чтобы «щенок» мог пролезть сквозь неё. Решение задачи найдено много лет назад, древними жителями Африки.

Среди африканцев с давних времен были популярны различные игры и головоломки с верёвочками. В Гамбии, например, любят разгадывать головоломку, показанную на рис. 10. К планке в трёх точках привязан шнурок. На шнурке висит кольцо, которое надо передвинуть вдоль всей верёвки, не отвязывая её от планки. Ситуация, в которую попал «щенок», аналогична этой.

Сделать подобные игрушки несложно. Чтобы изготовить игрушку со «щенком», необходимо взять полоску твердого картона, шнурок, длина которого примерно в четыре раза превышает длину полоски, и колечко или ненужную пуговицу. Размеры игрушки могут быть любыми. Обязательное условие: кольцо должно быть больше центрального отверстия планки.

Чем больше смотришь на головоломку со «щенком», тем сильнее укрепляешься в мнении, что решить её невозможно. Но решение есть. После первого решения головоломки у вас останется чувство непонимания: как же всё-таки колечко перескакивает через отверстие? Да, это удивительная задача! Секрет её - в особых свойствах узла, которым шнурок завязан за центральное отверстие планки. Продвигайте кольцо вдоль шнура в желаемом направлении, пока это возможно. Затем переведите узел с одной стороны отверстия на другую и снова продвигайте кольцо. И так до тех пор, пока не переведете кольцо на правую петлю шнурка. Войдя в центральное отверстие, шнурок возвращается назад, то есть в отверстие входит петля шнурка. Мы вытаскиваем петлю и продвигаем вдоль вытянутой части кольцо, а затем петлю возвращаем на место.

Можно попробовать привязать шнурок к планке разными способами. Испытав несколько узлов, приведённых на рис. 11, вы убедитесь, что головоломка решается не во всех случаях.

Если решение есть, шнурок, выйдя из отверстия, делает петлю и возвращается к нему с той же стороны. Если же шнурок проходит через отверстие и возвращается в него с другой стороны, решение невозможно. Так же не разрешима ситуация, при которой через отверстие проходит только один конец шнурка.

На рис. 12 приведены ещё две головоломки. Одну из них, с шариками, придумал чешский коллекционер головоломок Станислав Тврдик, другую, с кольцами, - инженер К. Лазарев из Подмосковья. На первый взгляд они очень сложные, но, освоив головоломку с «собачкой», вы сможете разгадать и эти головоломки.

Решение африканской головоломки [см. рис. 10, 13 - web/ред] : переведите кольцо направо к центральному отверстию; потяните на себя два шнурка, выходящие из отверстия; вытащите наружу узел, в который переплелись шнурки; продвигайте кольцо вдоль шнурка, на котором оно висит, через весь узел; узел втащите обратно внутрь отверстия; кольцо переведите направо до конца планки.

Головоломка «Треугольник» может быть нескольких видов, некоторые такие игры-головоломки можно купить в магазине интересных вещей, это часто металлические конструкции, которые предлагают путем перемещения их частей выполнить задание. Такая же задачка может быть графической, устной или даже выглядеть как необычный «кубик» Рубика, только это будет треугольник, который необходимо собрать по тому же принципу.

Например, на рисунке представлен треугольник, который поделен на несколько частей, каждая часть разукрашена определенным цветом, все части вместе составляют треугольник определенной площади, но если эти части перетасовать и составить из них вновь треугольник той же площади, то окажется, что появляется пустой квадратик (клеточка) которая не покрывается разноцветными частями. Вопрос загадки-головоломки состоит в том, откуда взялся этот пустой квадратик, если площадь и форма каждой части осталась неизменной, как и площадь и форма фигуры в целом.

Эта головоломка «Треугольник» решает очень непросто, и необходимо применить знания из области геометрии, чтобы понять, почему появляется пустое пространство. Таким образом, ответ получается следующим, а точнее объяснение головоломки. На самом деле, на рисунке представлены не треугольники, а четырехугольники. Один из них (на первом рисунке) - впуклый, второй - выпуклый. И площади этих псевдотреугольников не равны, как кажется невооруженным глазом, равными только являются площади закрашенных частей этих фигур.

Наверняка, вас интересует, почему данные фигуры не являются треугольниками? Ответ можно найти в геометрии: чтобы большие фигуры были треугольниками, необходимо чтобы меньшие треугольники являлись подобными (пропорциональными). При таком положении, как на рисунке, гипотенузы их должны составлять одну прямую линию, но маленькие треугольники не подобные, и отсюда можно сделать вывод, что гипотенуза большого треугольника не является таковой на самом деле, не является прямой линией, а ломанной. Поскольку увидеть это глазами достаточно сложно, появляется ошибочное мнение о равенстве данных фигур. Вот этот невидимый четвертый угол и дает пустой квадрат, вот такие головоломки по математике можно предложить для разгадывания в школьном классе.

Металлическая головоломка «Треугольник» - это пять треугольников, которые соединены между собой неким образом, посередине конструкции есть металлическое кольцо. Задание состоит в том, что, не разбирая головоломку на части, необходимо снять кольцо и одеть его обратно. Поскольку она внешне выглядит достаточно сложно, то ее будет интереснее разгадывать, но вот разгадка будет простой, достаточно лишь немного покрутить конструкцию в руках. Передвигая элементы треугольников, можно перемещать кольцо, и таким образом решить головоломку.